Melanie Bayley. Alisos nuotykiai algebroje: Stebuklų šalies sprendinys

Šiemet sukanka 150 metų nuo Lewiso Carrollio romano „Alisa Stebuklų šalyje" pirmojo leidimo 1865 m.

„Alisa Stebuklų šalyje“

Kas liktų iš Lewiso Carrollio „Alisos Stebuklų šalyje" be Češyro katino, teismo posėdžio, Kunigaikštienės kūdikio ir Skrybėliaus arbatėlės? Jei paskaitytumėte pradinę istoriją, kurią autorius vieną dieną papasakojo Alice Liddell ir dviem jos seserims irstantis valtimi prie Oksfordo, pamatytumėte, kad joje šių žymiųjų personažų ir scenų nėra.

Kai disertacijai ėmiausi tyrinėti Viktorijos laikų literatūrą, norėjau sužinoti, kas įkvėpė šiuos vėlesnius papildymus. Kritiniuose tekstuose „Alisa" daugiausiai interpretuojama froidiškai – kaip beprotiška kelionė į tamsųjį pasąmonės pasaulį. Neradau išsamios pridėtųjų epizodų analizės, bet literatūros gausybėje viena išsiskyrė: 1984 m. Helena Pycior iš Viskonsino-Milvokio universiteto susiejo Širdžių Valeto teismą su Viktorijos laikų knyga apie algebrą. Žinant „Alisos" autoriaus pagrindinį darbą, keista, kad į jo knygą mažai kas žiūri iš matematinės perspektyvos. Carrollis yra pseudonimas – tikrasis vardas buvo Charlesas Dodgsonas, ir jis dirbo matematiku Kristaus bažnyčios koledže Oksforde.

XIX a. matematikams buvo neramus laikas, akademinėje bendruomenėje paplito daug naujų ir kontroversiškų koncepcijų, tokių kaip įsivaizduojami skaičiai. Žiūrint į „Alisą Stebuklų šalyje" tokiame kontekste akivaizdu, kad Dodgsonas, užsispyręs konservatyvus matematikas, kai kuriuose epizoduose pašiepė šias naujas radikalias idėjas.

Net aistringiausi Dodgsono gerbėjai pripažintų, kad jis buvo atsargus matematikas, palikęs mažai originalių darbų. Vis dėlto buvo sąžiningas mokytojas, o matematinio mąstymo pavyzdžiu laikė senovės Graikijos vadovėlį – Euklido „Pradmenis". Jame nagrinėjama apskritimo geometrija, ketursieniai, lygiagretės ir šiek tiek trigonometrijos pradmenų. Bet įspūdingiausia „Pradmenyse" yra griežta samprotavimo logika: pradedama keliomis neginčijamomis tiesomis, arba aksiomomis, ir paprastais, logiškais žingsniais konstruojami sudėtingi matematiniai uždaviniai. Kiekviena teorema suformuluojama, patikrinama ir galiausiai išrišama tuo, „ką ir reikėjo įrodyti".

Ištisus amžius tokia prieiga buvo laikoma matematinio ir loginio samprotavimo viršūne. Tačiau, Dodgsono nusivylimui, jo laikais matematikai nebebuvo tokie griežti kaip Euklidas. Jis atmetė jų darbus kaip „pusiau metodiškus" ir net „pusiau logiškus".

Dabar mokslininkai nuolat naudoja tokias, atrodytų, absurdiškas koncepcijas kaip įsivaizduojami skaičiai (kvadratinė šaknis iš neigiamo skaičiaus), kurie fizinius dydžius atspindi kitokiu būdu nei sveikieji skaičiai ar trupmenos. Viktorijos laikais niekas iki galo šių idėjų nepriėmė, visi ieškojo prie jų derančios filosofinės sistemos. Bet matematikams buvo duota laisvė, ir kai kurie buvo pasirengę dirbti su šiomis keistomis koncepcijomis, jei jas įmanoma pagrįsti nuoseklia veiksmų seka. Tačiau Dodgsonui ši naujoji matematika rodėsi absurdiška.

Nugalėtas mokslinėje spaudoje, jis perkėlė savo matematinius įsitikinimus į grožinę kūrybą. Naudodamas metodą reductio ad absurdum, artimą Euklido įrodymams, jis išardė naujosios abstrakčios matematikos „puslogikę" ir išjuokė silpnybes privesdamas jos prielaidas prie logiškų išvadų su beprotiškais rezultatais. Iš to išėjo „Alisa Stebuklų šalyje".

Algebra ir kaljanas

Tarkim, skyrius „Vikšras pamoko Alisą". Alisa jau nusileido triušio ola ir suvalgė pyragaitį, nuo kurio susitraukė iki 3 colių. Kaljaną rūkantis Vikšras parodo Alisai grybą, galintį sugrąžinti normalų ūgį. Kebloka, žinoma, tai, kad nuo vienos grybo pusės ištįsta jos kaklas, o nuo kitos susitraukia liemuo. Norėdama atgauti tinkamą dydį ir proporcijas, ji privalo suvalgyti tiksliai su­balansuotą derinį.

Daugelio nuomone, ši scena su kaljanu ir „stebuklingu grybu" yra apie narkotikus, tačiau aš manau, kad joje matyti tai, ką Dodgsonas laikė absurdiška simboline algebra, nutraukusia ryšius tarp algebros, aritmetikos ir jo numylėtos geometrijos. Nors tolesniuose knygos skyriuose esama atviresnių matematinių analogijų, ši subtili ir žaisminga scena užduoda beprotišką toną.

Pirmąja užuomina gali būti pati pypkė: žodis „hookah" (angl. kaljanas) juk yra arabiškos kilmės, kaip ir „algebra", o įdomiausia tai, kad Augustus De Morganas, pirmasis britų matematikas, išdėstęs nuoseklias simbolinės algebros taisykles knygoje „Trigonometrija ir dviguba algebra" (1849), vartojo originalų arabišką vertinį – „al jebr e al mokabala", t. y. „rekonstrukcija ir redukcija", kas beveik tiksliai nusako Alisos patirtį. Rekonstrukcija ją atvedė prie grybo: ji ieškojo, ką suvalgiusi ar išgėrusi vėl būtų normalaus dydžio, o redukcija ištiko truputį užvalgius: ji susitraukė taip greitai, kad pasmakrė trenkėsi į pėdas.

De Morgano veikalas paaiškina nukrypimą nuo universalios aritmetikos,­ kurioje algebriniai simboliai atitinka konkrečius skaičius, susietus su fiziniais dydžiais, prie tokios simbolinės algebros, kurioje leistini bet kokie „absurdiški" veiksmai su neigiamais ar neįmanomais sprendiniais, jei operacijų seką įmanoma pagrįsti vidine logika. Simbolinė algebra iš esmės yra tai, ką mes dabar naudojame kaip ištobulintą kalbą, išreiškiančią ryšius tarp matematinių objektų, bet Viktorijos laikais algebra suvokta visai kitaip. Netgi pirmaisiais simbolinės algebros bandymais tebeieškota netiesioginių sąsajų su fiziniais dydžiais. De Morganas norėjo nutraukti šį netvirtą ryšį ir siūlė simbolinę algebrą suvokti kaip gramatinę sis­temą. (...)

Alisa karščiuojasi

Mano manymu, Stebuklų šalies beprotiškumas atspindi Dodgsono požiūrį į šios naujosios algebros pavojus. Alisa iš racionalaus pasaulio pateko į tokį kraštą, kuriame net skaičiai elgiasi neprognozuojamai. Pradžioje įstrigusi niūrioje salėje su mažutėmis durelėmis ji mėgina prisiminti daugybos lentelę, bet ši išsprūsta iš mums įprastos dešimtainės sistemos. Vikšro scenoje Dodgsono nuogąstavimai atskleidžiami Alisos ūgiui kaitaliojantis nuo 9 pėdų iki 3 colių. Alisai, pripratusiai prie konvencionalios aritmetikos, kurioje dydžiai yra stabilūs, tai kelia rimtų nepatogumų: „Kai per dieną tiek daug kartų keičiasi žmogaus ūgis, stačiai neįmanoma susigaudyti", – pasiskundžia ji. „Nieko panašaus", – atsako Vikšras, kuris gyvena šiame absurdiškame pasaulyje.

Vikšro įspėjimas šio epizodo pabaigoje yra turbūt viena ryškiausių užuo­minų apie konservatyvią Dodgsono matematiką. „Nesikarščiuok (keep your temper)", – pareiškia jis. Alisai atrodo, kad jis jai pataria valdytis, tačiau Vikšras, nors ir atžarus, nebuvo itin erzinantis, tad tai ganėtinai keistas pareiškimas. Tačiau to meto intelektualams žodis „temper" (angl. šiuo atveju – pyktis, susierzinimas) tebebuvo išlaikęs pirminę – „tinkamos proporcijos" –­ reikšmę. Taigi gali būti, kad Vikšras Alisai patarė išlaikyti kūno proporcijas –­ nesvarbu, kokio ji taptų dydžio.

Šitai taip pat gali atspindėti Dodgsono meilę euklidinei geometrijai, kurioje nesvarbūs absoliutūs dydžiai: svarbu tik vienos atkarpos santykis su kita, kaip, pavyzdžiui, trikampyje. Stebuklų šalyje Alisa privalo elgtis euklidiškai – išlaikyti stabilias proporcijas, net jei jos dydis keičiasi.

Žinoma, ji taip nesielgia. Ji praryja gabalėlį grybo ir kaklas ištįsta it gyvatė, kol ji subalansuoja savo formą su kitos grybo pusės kąsneliu. Tai svarbi nuoroda į kitą skyrių „Paršiukas ir pipirai", kuriame Dodgsonas parodijuoja kitą geometrijos tipą.

Šiuo metu Alisa jau susigrąžino normalų dydį ir formą, bet ji nusprendžia susimažinti, kad patektų į keturių pėdų namelį. Virtuvėje ji randa kūdikį sūpuojančią Kunigaikštienę, Virėja į sriubą priberia per daug pipirų, nuo kurių ima čiaudėti visi, išskyrus Češyro katiną. Tada Kunigaikštienė nusviedžia savo kūdikį Alisai ir šis kažkaip pavirsta paršiuku.

Šios satyros taikinys yra projekcinė geometrija, nagrinėjanti tokias figūras, kurios išlieka nepakitusios projektuojant ant kitokio paviršiaus (įsivaizduokit vaizdą judančiame ekrane, kuriame, skirtingais kampais, matyti formų spektras). Šiai sričiai priklauso įvairių sumanymų, kuriuos Dodgsonas laikė absurdiškais, pavyzdžiui, prancūzų matematiko Jeano-Victoro Poncelet „tolydumo principas". (...) Paprasčiausias jo pavyzdys – su dviem susikertančiais apskritimais. Apskritimai visada kertasi dviejuose taškuose. Pagal tolydumo principą, bet kokia šių apskritimų tolydi transformacija (pavyzdžiui, jų centrų traukimas vieno nuo kito) išlaikys pagrindinę ypatybę – tuos du susikirtimo taškus. Tiesiog, kai centrai bus pakankamai toli vienas nuo kito, sprendimui prireiks įsivaizduojamo skaičiaus, kurio neįmanoma suprasti fiziškai.

Žinoma, kai Poncelet kalba apie „figūras", jis turi galvoje geometriją, bet Dodgsonas žaismingai pajungia „pusiau metodišką" Poncelet argumentą griežtai loginei analizei ir priveda jį iki kraštutinės išvados. Kas galioja trikampiui, turėtų galioti ir kūdikiui; jei ne, kažkas blogai su pačiu principu, – ką ir reikėjo įrodyti. Taigi Dodgsonas paverčia kūdikį paršiuku pagal tolydumo principą. Svarbiausia, kad kūdikis išlaiko pirmines savybes, kaip ir bet kuris objektas, patiriantis tolydžią transformaciją. Jo galūnės tebemataruoja kaip jūrų žvaigždės, jo keista forma, užsirietusi nosis ir mažos akutės. Kad kūdikis pasikeitė, Alisa pastebi tik tada, kai čiaudulys virsta kriuksėjimu.

Kūdikio isteriškumas ir atvira Kunigaikštienės prievarta žymi tulžingą Dodgsono nepasitikėjimą „modernia" projekcine geometrija. Paršiuko ir pipirų scenoje visi blogai atlieka savo darbus. Kunigaikštienė yra prasta aristokratė ir pasibaisėtinai prasta motina; Virėja yra prasta virėja, kuri leidžia virtuvei paskęsti dūmuose, sriuboje padaugina pipirų ir galiausiai išmėto keptuves, puodus ir lėkštes.

Alisa, pyktelėjusi dėl keisto įvykių posūkio, palieka Kunigaikštienės namus ir keliauja į Skrybėliaus arbatėlę, kurioje nagrinėjami airių matematiko Williamo Rowano Hamiltono darbai. Hamiltonas mirė 1865 m., netrukus po „Alisos" pasirodymo, bet tuo metu jo kvaternionų atradimas jau buvo laikomas svarbiu žingsniu abstrakčioje algebroje, kadangi šie leido algebriškai perteikti sukinius.

Kompleksiniai skaičiai veikia dvimatėje sistemoje (kaip taškai plokštumoje), o kvaternionai priklauso keturmatei. Hamiltonas daug metų dirbo su trimis matmenimis, bet tik pridėjus ketvirtąjį pavyko apibrėžti trimačius sukinius, tik jam buvo nelengva įvardyti, ką šis papildomas narys žymi. Kaip ir daugumai Viktorijos laikų mokslininkų, jis manė, kad matmuo turėtų ką nors reikšti, tad savo „Paskaitų apie kvaternioną" (1853) pratarmėje jis pridėjo išnašą: „Man atrodė (ir tebeatrodo) natūralu sujungti šį ekstraerdvinį vienetą su laiko koncepcija."

Geometrija leido tyrinėti erdvę, o algebra, Hamiltono manymu, leido nagrinėti „gryną laiką", gana ezoterinę teoriją, kurią jis išvedė iš I. Kanto ir kuri turėjo priminti platonišką laiko idėją. Kiti matematikai į šią išmonę reagavo mandagiai, bet atsargiai, manydami, kad nueita per toli.

Esama užslėptų paralelių tarp Hamiltono matematikos ir Skrybėliaus arbatėlės („tea party"; arba „t-party", juk t yra matematinis laiko simbolis). Dabar Alisa sėdi prie stalo su trimis keistais personažais: Skrybėliumi, Zuikiu Paikiu ir Miegapele. Personažo, vardu Laikas, nėra – jis nebeklauso Skrybėliaus ir todėl šiam dabar visą laiką yra šešta valanda. Turint galvoje Hamiltono matematiką, Skrybėliaus arbatėlės dalyviai simbolizuoja tris kvaterniono matmenis, tarp kurių nėra svarbiausiojo – laiko. Kaip rašoma, be Laiko, personažai yra įstrigę prie arbatos staliuko, aplink kurį juda ieškodami švarių puodelių ir lėkštučių. Jų slinktis primena ankstyvuosius Hamiltono bandymus apskaičiuoti judėjimą, kurį ribojo sukiniai plokštumoje, kol jis pridėjo laiką. Net Alisa, prisijungusi prie pasisėdėjimo, nepajėgi sustabdyti Skrybėliaus, Zuikio Paikio ir Miegapelės sukimosi, nes ji nėra ekstraerdvinis Laiko vienetas.

Absurdiška Skrybėliaus mįslė – „Kodėl juodvarnis panašus į rašomąjį stalą?" – gali dar tiksliau nurodyti į grynojo laiko teoriją. Hamiltonas teigė, kad grynojo laiko karalystėje priežastis ir pasekmė nebėra susijusios, o tai išreikšti galėtų neatsakomo Skrybėliaus klausimo beprotiškumas. Alisos mėginimas atsakyti į mįslę sulaukia pašaipos dėl kitos kvaternionų ypatybės: jų daugyba nekomutatyvi (narių negalima sukeisti vietomis), t. y. x × y nėra tas pats, kas y × x. Kai Zuikis Alisai liepia: „Sakyk, ką manai", ji atsako: „Aš manau taip pat... taip pat, kaip sakau. O tai, žinote, vienas ir tas pats." „Visai ne tas pats, – taria Skrybėlius. – Klausyk, negi galėtum tvirtinti, kad „Aš matau, ką valgau" yra tas pats kaip ir „Aš valgau, ką matau"!"

Tokia teorija turėjo erzinti konservatyvųjį Dodgsoną, kadangi nekomutatyvi algebra prieštaravo pagrindiniams aritmetikos dėsniams ir atvėrė keistą naują matematikos pasaulį, dar abstraktesnį nei simbolinė algebra.

Epizodo pabaigoje Skrybėlius ir Zuikis mėgina įgrūsti Miegapelę į arbatinuką. Tai gali būti jų kelias į laisvę. Jei pavyktų trečiosios dalyvės atsikratyti, jiedu galėtų egzistuoti savarankiškai, kaip kompleksinis dvinaris skaičius. Vis tiek beprotiškas, pasak Dodgsono, bet išlaisvintas nuo begalinio sukimosi aplink stalą.

Čia Dodgsono matematinė satyra ir baigiasi. Kas liktų iš „Alisos Stebuklų šalyje" be visų šių analogijų? Tik pirminė pasaka vaikams „Alisos nuotykiai po žeme" – žavingas, bet nepakankamai išraiškingas nonsensas. Dodgsonas buvo sąmojingiausias tada, kai iš ko nors šaipydavosi, ypač jei objektas jį nuoširdžiai erzino. Jis parašė du nepaprastai juokingus, matematinių įrodymų stilių imituojančius pamfletus, kuriais pašiepė pokyčius Oksfordo universitete. Palyginimui, kitos jo istorijos, išskyrus „Alisą", –­ nuobodžios ir didaktiškos.

Surizikuosiu teigti, kad be niršios, į kolegas nukreiptos Dodgsono satyros „Alisa Stebuklų šalyje" nebūtų tapusi tokia populiari, o Lewisas Carrollis nebūtų prisimenamas kaip neprilygstamas nonsenso literatūros meistras.

„New Scientist", 2009-12-16

Iš anglų kalbos vertė Emilija Visockaitė

Draugai